Suites arithmético géométriques
Une suite arithmético géométrique est une suite qui se définit par récurrence par :
U = aU + b
n+1 n
On la rencontre notamment lorsqu'une donnée subit régulièrement une évolution de p% et une augmentation ou une diminution constante égale à b.
Il est possible de trouver sa forme explicite à l'aide d'une suite auxiliaire géométrique (V ),
n
définie à partir de (U ).
n
C'est l'objet des exercices en lien ci-dessous.
Rappel de cours :
Une suite (V ) est géométrique si et seulement si il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n :
n
V = q V
n+1 n
q est appelé raison de la suite (V )
n
On peut alors exprimer Vn de manière explicite :
n
Pour tout entier naturel n, V = V q
n 0
n - p
Pour tous entiers naturels n et p, V = V q
n p
Pour prouver que la suite (V ) est géométrique, on prouvera donc que :
n
pour tout entier naturel n, V = qV
n+1 n
Exercice :
On donne une suite (U ) et une suite auxiliaire (V ).
n n
1) Montrer que (V ) est géométrique.
n
2) Exprimer V en fonction de n.
n
3) En déduire U en fonction de n
n
